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　　大语言模型 (LLM) 是如何解数学题的？是通过模板记忆，还是真的学会了推理思维？模型的心算过程是怎样的？能学会怎样的推理技能？与人类相同，还是超越了人类？只学一种类型的数学题，是会对通用智能的发展产生帮助？LLM 为何会犯推理错误？多大多深的 LLM 才能做推理？

　　近日，来自 Meta FAIR、CMU 和 MBZUAI 的叶添、徐子诚、李远志、朱泽园四人团队最新公布 arXiv 论文《语言模型物理学 Part 2.1：小学数学与隐藏的推理过程》用可控实验，巧妙地回答以上问题。推特网友 @xlr8harder 评价，「这一结果将一劳永逸地平息关于 LLM 有没有推理能力，或者只是随机鹦鹉的争论。」

　　编者注：《语言模型物理学》全系列受邀于 7 月 22 日在 ICML 2024 国际机器学习顶级大会上进行了两小时的专题报告，反响热烈，据悉现场掌声不断。这里为大家呈现系列中的 Part 2.1。

　　首先，根据本系列的惯例，作者觉得不应通过与 GPT-4 等大模型对话来猜测其思维方法，这类似于动物行为学，虽可行但不够严谨，无法科学地揭示 GPT-4 的内心思考过程。

　　此外，从数据角度看，只有完全访问模型的预训练集（pretrain data），才能明确哪些题目是模型见过的，哪些是通过推理学会的。即使模型在 GSM8k（包含 8000 道小学数学题的基准测试集）上获得高分，也难以判断它是否见过这些题目的变体（如不同语言或 GPT-4 改写后的变体）。

　　为此，作者创建了 iGSM，一个人工合成的、模拟小学数学级别的思维题集，并让模型从零开始在 iGSM 上预训练，以控制模型接触的问题类别。有必要注意一下的是，iGSM 不包含常识信息，只包含 mod 23 范围内的加减乘，并且所有计算都使用 CoT 逐步进行。通过 iGSM，可进行可控实验，专门研究模型的推理能力，而忽略了其他因素（如大整数运算）。图 2 展示了一个简单的例题。

　　通过这个数据集，作者首先测试了 GPT2（RoPE 版）的表现。用 op 代表解题所需的数学运算步数，作者发现，当在 op≤21 的题目上进行训练时，模型不仅能达到 99% 正确率，还能在更高难度的题目（如 op=32）上保持 83% 的正确率（见图 3）。这表明模型学会了某种推理技能，毕竟它从未见过 op21 的题。（顺带一提，GPT-4o 在该数据集上仅能应对 op=10 的题目，超过这个难度就如同盲猜，文末我们会讨论这个问题。）

　　那模型究竟学会了怎样的推理技能呢？解决 iGSM 的数学题至少有两种思路。一种是作者称为「0 级推理」，即「暴力计算能算则算」。由于题目中的变量有几率存在复杂的依赖关系，有些可以直接计算，有些则需要先算出其他变量 —— 譬如小张比小王多 3 倍的水果，那么就要先算出小王有多少苹果、梨子并求和，才能开始计算小张的水果数。「0 级推理」就是尽可能枚举所有变量，每次随机找到一个可计算的变量，算出结果并继续。

　　与之对应的是「1 级推理」：通过拓扑排序，从问题开始反推，确定哪些变量需要计算，然后从叶子节点开始向上计算，力求「最短解答」。常见的数学题解一般会用 1 级推理，不会去计算「不必要的变量」。例如小张比小王多 3 倍的水果，问小张有多少水果，那小李的苹果数就是不必要的变量，而小王的苹果、梨子数都是必要的。

　　如图 3 所示，作者发现，GPT-2 可以学会 1 级推理，几乎每次都给出最短解答。这非常不简单！因为在模型生成第一句话之前，必须已经在脑海中完成了整个拓扑排序 —— 否则它怎么知道哪个变量是不必要的？如果模型一开始就生成了「小李的苹果有 7 个」，那就无法回头，得不到最短解答。

　　那么，模型是如何学会「1 级推理」的？为此，作者对模型的内部参数进行了探针 probing 研究（见图 4）。结论显示（具体探针方法详见论文），在模型生成第一句话之前，它已经通过心算确定了哪些变量 A 是「必要的」（nece (A)=True）。同时，模型在说每句话之后，也心算出了接下来所有「可计算的」的变量 A（cannext (A)=True）。因此，模型只需对 nece 和 cannext 不断进行逻辑与（AND）运算，就能从叶子节点开始，一步步给出完整的计算过程。

　　值得注意的是，这些复杂的心算能力并没有显现在训练集中。模型只接触过 iGSM 数据，只见过「语言」部分（题目和答案），但它却自主学会了类似人类的思维过程（mental process），并得出了最优解！换言之，这项研究反驳了我们一周前在《语言≠思维，大模型学不了推理：一篇 Nature 让 AI 社区炸锅了》中的报道，用科学方法证明了大模型通过语言确实能学会思维。

　　更神奇的是，模型学到的不止如此。在图 4 中，作者还发现模型会心算许多对解题无用的信息。比如，在变量关系刚被描述完，甚至在问题尚未提出之前，模型已经知道任意两个变量 A 和 B 之间是不是存在递归依赖 —— 即使这些变量与解题无关。对人类来说，我们一般会从问题开始反推，忽略不必要的变量，而 GPT-2 这样的语言模型则会将整个关系图梳理一遍，以应对将来可能被问及的任意的毛病。作者将这种能力称为「2 级推理」。

　　虽然「2 级推理」对解题不必须，但它确实是一种更通用的技能。模型利用并行能力，对信息进行大量因果梳理。这一能力是语言模型在学习解题中自行掌握的，没有人 (数据) 教过它这么做。作者猜测，这或许是通用AI（AGI）中「通用」一词的潜在来源，即语言模型可以超越数据集所教的技能，学会更为通用的能力。

　　接下来，作者研究了模型为何会犯错。总结来看，在 iGSM 数据集上，模型几乎只会犯两类错误：一是计算不必要的变量，二是计算当前不可算的变量，如图 5 所示。

　　对于前者，作者发现，如果模型在生成答案之前就心算出错，误认为某个变量 A 是 「必要的」（nece (A)=True），那么模型在生成答案时很可能会对 A 强行计算，由此产生非最短解答。这一发现很有趣，它表明许多错误是系统性的，在生成第一个 token 之前，模型还没张嘴就可以确信它会犯错（通过探针的方法）。这类错误与模型生成过程中的随机性或 beam search 无关。

　　至于后者，作者也将其归因于心算错误，并将用一整篇的后续 Part 2.2 论文，来针对性提高模型的心算能力，以最终提高解题正确率。该论文尚未发布，我们会在公众号中持续关注并报道。

　　下一个结论是，作者反驳了大模型缩放定律（scaling law）中强调的「唯大独尊」，即模型的表现只与参数数量相关，而与宽度或深度无关。这一观点最早由 OpenAI 的缩放定律论文提出，并在后续几乎所有研究中得到遵循。

　　作者通过 iGSM 数据集进行了一个可控实验，如图 6 所示。通过对比更小更深的模型与更大更宽的模型，发现对于解决 iGSM 中的数学题，模型的深度显然比宽度更重要。例如，一个 20 层、9 个 head 的模型，表现远好于 4 层、30 个 head 的模型，尽管后者有两倍的参数。

　　更进一步，作者发现对深度的依赖源于模型心算的复杂性。通过对模型不同深度的探针研究，作者发现，对那些与问题较远的变量 A，心算 nece (A) 往往需要更多层数。具体来说，若变量 A 与问题变量的距离为 t，则有必要进行 t 步心算才能知道 nece (A)=True。t 越大，模型所需的层数也越多，如图 6 所示。

　　作者强调，模型对深度的依赖无法通过思维链（Chain-of-Thought, CoT）来抵消。事实上，iGSM 中的数学题解已经尽可能地使用了 CoT，即所有计算都被拆解为一步一步。即便如此，模型仍一定要通过心算来规划 CoT 的第一步该算什么 —— 这个心算过程可能依然需要多个步骤。这解释了模型对深度依赖的原因。

　　综上所述，与 99% 以上的研究 LLM 行为过程（behavior process）的论文不同，本文作者另辟蹊径，揭示了 LLM 在解决数学问题时的心理过程（mental process），为理解 LLM 的智能提供了新的视角。

　　文章最后作者指出，即便是 GPT-4，在 iGSM 数据集上也只能进行最多 10 步的推理。这表明，即使是当前最强的模型，利用了据称所有的互联网数据，仍无法精准地完成超过 10 步推理。这暗示现有大模型使用的预训练数据集（pretrain data）可能还有很大的改进空间。通过本文的方法，建立人工合成数据来增强模型的推理能力及信息梳理能力，或许是一种新的可能。